Kliky → Nezávislé množiny

Problémy klik a nezávislých množin jsou NP-úplné grafové úlohy. Pokud bychom pouze věděli, že je problém klik NP-úplný, ale o nezávislých množinách tuto informaci neměli, tak tento převod dokazuje NP-úplnost úlohy nezávislých množin (ukázat, že lze zkontrolovat ANO-instanci v polynomiálním čase, je triviální - stačí projít sousedy uzlů z nezávislé množiny N a testovat jejich nepřítomnost v N).

Nezávislé podmnožiny

Kliky a nezávislé množiny
Převod jednoduchého grafu

Podmnožina uzlů grafu G je nezávislá právě tehdy, když žádné dva z jejích uzlů neincidují s stejnou hranou E \\in Edges(G). Číslo, které označuje počet uzlů maximální nezávislé podmnožiny nazýváme nezávislostí grafu.

Rozhodovací problém nezávislých podmnožin se ptá, zda-li v daném grafu existuje nezávislá podmnožina alespoň o k vrcholech.

Klikovost grafu

Klika grafu je každý maximální úplný podgraf grafu G (tj. každý úplný podgraf pro který platí, že žádný z jeho nadgrafů není úplný). Maximální číslo k, pro které existuje v G klika o k vrcholech nazýváme klikovostí grafu.

Rozhodovací problém klikovosti grafu se ptá, zda-li v daném grafu existuje klika alespoň o k vrcholech.

Převod

Z definice klik plyne, že se jedná o ty uzly, které jsou vzájemně propojeny hranami. Nezávislá množina naopak požaduje, aby tyto uzly nebyly projeny vůbec. Pro převod proto stačí ke grafu G vytvořit opačný graf G^{op}.

G \\rightarrow G^{op}
k \\rightarrow k

Protože lze k zadanému grafu vytvořit opačný graf v polynomiálním čase, tak je tento převod polynomiální.

Literatura

  • DEMLOVÁ, Marie. Teorie algoritmů : Text k přednášce.







Doporučujeme

Internet pro vaši firmu na míru