Variace

Mějme prvků. Pak nazveme každou uspořádanou k-tici ( $k \\geq n$ ), sestavenou z těchto prvků tak, aby se žádný z nich neopakoval, variací. Speciálním případem variace pro k = n je permutace.

Počet všech k-členných variací z n prvků vypočteme jako:

$V(k,\\; n) = n\\cdot(n-1)\\cdot(n-2) \\cdot \\cdots (n - k + 1) = {{n!} \\over {(n-k)!}}$

Za předpokladu, že umožníme opakovaný výskyt jednotlivých prvků, tak hovoříme o variaci s opakováním. Počet všech variací s opakováním platí vzorec:

$V'(k,\\; n) = n^{k}$

Příklad

Vypište všechny 2 členné variace prvků $a,\\; b,\\; c,\\; d$ .

Řešení

$V = \\{[a,\\;b],\\;[a,\\;c],\\;[a,\\;d],\\;[b,\\;a],\\;[b,\\;c],\\;[b,\\;d],\\;[c,\\;a],\\;[c,\\;b],\\;[c,\\;d],\\;[d,\\;a],\\;[d,\\;b],\\;[d,\\;c]\\}$

Příklad

Vypište všechny 2 členné variace s opakováním prvků $a,\\; b,\\; c$ .

Řešení

$V' = \\{[a,\\;b],\\;[a,\\;c],\\;[a,\\;a],\\;[b,\\;a],\\; [b,\\;b],\\;[b,\\;c],\\;[c,\\;a],\\;[c,\\;b],\\;[c,\\;c]\\}$

Příklad

Mějme organizaci, která má 20 členů a volí své vedení. Všichni členové kandidují na pozice předsedy, prvního místopředsedy a pokladníka. Každý člen může zastávat maximálně jednu funkci. Kolika různými způsoby může dopadnout volba?

Řešení

Z 20 prvků musíme vybrat tři různé. Zároveň záleží na pořadí jednotlivých prvků, jelikož jsou jednotlivé pozice, na než jsou členové voleni, odlišné. Počítáme proto počet variací (bez opakování) 3 prvků z 20.

$V(3,\\; 20) = 20 \\cdot 19 \\cdot 18 = 6840$

Vedení organizace může být zvoleno 6840 způsoby.

Příklad

Kolika různými způsoby lze provést hod třemi hracími kostkami?

Řešení

Na každé z kostek může padnou hodnota 1 až 6, počítáme proto variaci 3 prvků ze 6 s opakováním.

$V'(3,\\; 6) = 6^{3} = 216$

Kostky lze hodit 216 způsoby.

Kód

/** Autor: Vaclav Kejr */
public long Variace(int n, int k)
{
    try
    {
        long pocetVariaci = 1;
        if (n <= 0 && k <= 0)
        {
            throw new ArgumentException("Argumenty n, k nesmí být menší nebo rovny 0 !", n.ToString());
        }
        else if (n > 0 && k > 0 && n >= k)
        {
            for (int x = 0; x < k; x++)
            {
                pocetVariaci *= n - x;
            }
        }
        else if (n < 0 && k > 0)
        {
            throw new ArgumentException("Argument n < 0 a k > 0 !", n.ToString());
        }
        else if (n > 0 && k < 0)
        {
            throw new ArgumentException("Argument n > 0 a k < 0 !", n.ToString());
        }
        else if (n == 0 && k > 0)
        {
            throw new ArgumentException("Argument n = 0 a k > 0 !", n.ToString());
        }
        else if (n > 0 && k == 0)
        {
            throw new ArgumentException("Argument n > 0 a k = 0 !", n.ToString());
        }
        return pocetVariaci;
    }
    catch (SystemException ex)
    {
        Console.WriteLine(ex.ToString());
        return -1;
    }
}

Literatura

POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky. 8. vydání. Praha 4 : Prometheus, 2005. 608 s.

Příklad

Řešení

Příklad

Řešení

Příklad

Řešení

Příklad

Řešení

Kód

Literatura

Doporučujeme