Vlastní číslo

Vlastním číslem čtvercové matice A se nazývá číslo, pro které existuje vektor $\\mathbb{v} \\in L,\\; \\mathbb{v} \\neq 0$ takový, že $A \\cdot v = \\lambda \\cdot v$ . Vektor v označíme za vlastní vektor matice A příslušný vlastnímu číslu $\\lambda$ .

Jednoduše řečeno je vlastní vektor takový vektor, jehož směr se po aplikaci transformace A nemění. Vlastní číslo je pak koeficient změny velikosti daného vektoru.

Příklad

Spočítejte vlastní čísla a vlastní vektory dané matice.

$A = \\begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 2 & 1 \\end{pmatrix}$

Problém hledání vlastních čísel a vektorů $A \\cdot v = \\lambda \\cdot v$ můžeme vyjádřit také následující rovností:

$(\\mathbb{A} - \\lambda \\cdot \\mathbb{I}) \\cdot \\mathbb{v} = 0$

Jelikož hledáme nenulové vlastní vektory, tak musí být determinant matice $\\mathbb{A} - \\lambda \\cdot \\mathbb{I}$ nulový (tj. matice musí být singulární).

$\\det\\left|\\, \\begin{matrix} 1-\\lambda & 2 \\\\ 2 & 1-\\lambda \\end{matrix} \\right| = \\lambda^2 - 2\\lambda - 3 = (\\lambda - 3) \\cdot (\\lambda +1)$

Vlastní čísla matice A jsou $\\lambda_{1} = 3$ , $\\lambda_{2} = -1$ , protože je jedno vlastní číslo kladné, a druhé záporné, tak je symetrická matice A indefinitní.

Nyní již zbývá pouze získat dosazením vlastní vektory matice A.

Pro $\\lambda_{1} = 3$

$\\begin{pmatrix} 1 - 3 & 2 \\\\ 2 & 1 - 3 \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} v_{11} \\\\ v_{12} \\end{pmatrix} = 0 \\rightarrow \\begin{pmatrix} -2 & 2 \\\\ 2 & -2 \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} v_{11} \\cr v_{12} \\end{pmatrix} = 0$

Řešením je zřejmě vektor $v_{1} = \\alpha \\cdot (1, 1)$ .

Pro $\\lambda_{2} = -1$

$\\begin{pmatrix} 1 - (-1) & 2 \\\\ 2 & 1 - (-1) \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} v_{21} \\\\ v_{22} \\end{pmatrix} = 0 \\rightarrow \\begin{pmatrix} 2 & 2 \\\\ 2 & 2 \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} v_{21} \\\\ v_{22} \\end{pmatrix} = 0$

Řešením je vektor $v_{2} = \\alpha \\cdot (1, -1)$ .

Literatura

WERNER, Tomáš. Optimalizace [online]. [s.l.] : [s.n.], 2010-11-11 [cit. 2010-11-16]. Dostupné z WWW: <http://cw.felk.cvut.cz/lib/exe/fetch.php/courses/a4b33opt/opt.pdf>.

Příklad

Literatura

Doporučujeme