Směšovací problém

Směšovací problém je jednou ze základních úloh lineárního programování.

Mějme n různých surovin, cílem je namíchat výsledný produkt tak, aby měl požadované složení, ale náklady na suroviny byly minimální. Počet jednotek suroviny j označíme xj, cenu za jednotku cj. Požadované složení je popsáno vektorem pravých stran b takovým způsobem, že řádek i značí předepsané množství i-té látky ve výsledném produktu. Jednotkové množství j-té suroviny obsahuje aij jednotek látky i.

Obdobou směšovacího problému je tzv. dietní (nutriční problém), jehož cílem je sestavit jídelníček takovým způsobem, aby obsahoval předepsané látky, ale cena byla minimální.


\\min \\; \\{ {\\mathbb{c}}^{T} {\\mathbb{x}} : {\\mathbb{Ax}} = {\\mathbb{b}}, {\\mathbb{x}} \\geq 0 \\}

Příklad

Pacient by měl denně sníst potraviny o úhrnné energetické hodnotě alespoň 12000kJ. Strava by měla obsahovat minimálně 475 gramů sacharidů, 67 gramů bílkovin a 83 gramů tuků.

Kilogram potraviny A má 3110kJ, obsahuje 0g sacharidů, 200g bílkovin a 0g tuků a stojí 159Kč.

Kilogram potraviny B má 9630kJ a obsahuje 500g sacharidů, 0g bílkovin a 0g tuků a stojí 20Kč.

Kilogram potraviny C má 2000kJ, obsahuje 0g sacharidů, 0g bílkovin a 100g tuků, stojí 40Kč.

Kilogram potraviny D má 20000kJ, obsahuje 0g sacharidů, 60g bílkovin a 830g tuků, stojí 200Kč.

Sestavte z těchto surovin vhodný dietní plán.

Řešení

\\min \\; 159A + 20B + 40C + 200D

Za podmínek:

500B = 475
200A + 60D = 67
100C + 830D = 83
3110A + 9630B + 2000C + 20000D = 12000
A \\geq 0
B \\geq 0
C \\geq 0
D \\geq 0

f = [159; 20; 40; 200];
A = [];
b = [];
Aeq = [
    0 500 0 0;
    200 0 0 60;
    0 0 100 830;
    3110 9630 2000 20000
    ];
beq = [475; 67; 83; 12000];
lb = [0 0 0 0];
ub = [];

linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub)

Pacient by měl sníst 0.3168kg potraviny A, 0.95kg potraviny B, 0.3265kg potraviny C, 0.0607kg potraviny D.

Literatura

  • ŠTECHA, Jan. Optimální rozhodování a řízení : Přednášky. [s.l.] : Vydavatelství ČVUT, 2002. 241 s. ISBN 80-01-02083-5.







Doporučujeme

Internet pro vaši firmu na míru