Vázaný extrém

Vázaný extrém funkce f(\\mathbb{x}) je takový extrém, který splňuje omezení g(\\mathbb{x}) = 0. Při jeho hledání se používají Lagrangeovy multiplikátory.

Lagrangeovy multiplikátory

Nechť f: \\mathbb{R}^{n} \\rightarrow \\mathbb{R}^{n}, h: \\mathbb{R}^{n} \\rightarrow \\mathbb{R}^{n}. Nechť \\mathbb{x^*} je lokální extrém omezení h(\\mathbb{x}) = 0. Nechť \\nabla h(\\mathbb{x^*}) \\neq 0. Pak existuje \\lambda tak, že \\nabla f(\\mathbb{x^*}) + \\lambda \\cdot \\nabla h(\\mathbb{x^*}) = 0.

Tato věta nám říká, že v lokáním extrému \\mathbb{x^*} jsou gradienty funkcí f a h rovnoběžné.


Příklad

Vypočtěte rozměry půllitru (válec bez víka) o objemu 0,5l tak, aby množství použitého skla bylo minimální.

Povrch a objem mohou být vypočítány jako

V = \\pi \\cdot r^{2} \\cdot v = 0.5
S = \\pi \\cdot r^2 + 2 \\cdot \\pi \\cdot r \\cdot v

Napíšeme Lagrangeovu funkci F.

F(\\mathbb{x}, \\lambda) = \\pi \\cdot r^2 + 2 \\cdot \\pi \\cdot r \\cdot v + \\lambda \\cdot ( \\pi \\cdot r^{2} \\cdot v - 0.5)

Provedeme parciální derivace podle r, v, \\lambda.

{{\\partial F}  \\over {\\partial r}} = 2 \\pi r + 2 \\pi v + 2 \\pi r v \\lambda
{{\\partial F}  \\over {\\partial v}} = 2 \\pi r + \\pi r^{2} \\lambda
{{\\partial F}  \\over {\\partial \\lambda}} =  \\pi \\cdot r^{2} \\cdot v - 0.5

Porovnáme nyní první derivace s nulou a vypočítáme kritické body.

{{\\partial F}  \\over {\\partial r}} = 2 \\pi r + 2 \\pi v + 2 \\pi r v \\lambda = 0
{{\\partial F}  \\over {\\partial v}} = 2 \\pi r + \\pi r^{2} \\lambda = 0
{{\\partial F}  \\over {\\partial \\lambda}} =  \\pi \\cdot r^{2} \\cdot v - 0.5 = 0

Po vyřešení soustavy rovnic vyjde r_{1} = 0, což je z hlediska interpretace nesmysl a r_{2} = v, v = \\sqrt[3]{{0.5} \\over \\pi}. Což jsou rozměry požadovaného půllitru, protože z interpretace vychází, že při nulovém poloměru a nekonečné výšce by byl objem nulový, stejně jako při nekonečném poloměru a nulové výšce.








Doporučujeme

Internet pro vaši firmu na míru