Vázaný extrém

Vázaný extrém funkce $f(\\mathbb{x})$ je takový extrém, který splňuje omezení $g(\\mathbb{x}) = 0$ . Při jeho hledání se používají Lagrangeovy multiplikátory.

Lagrangeovy multiplikátory

Nechť $f: \\mathbb{R}^{n} \\rightarrow \\mathbb{R}^{n}$ , $h: \\mathbb{R}^{n} \\rightarrow \\mathbb{R}^{n}$ . Nechť $\\mathbb{x^*}$ je lokální extrém omezení $h(\\mathbb{x}) = 0$ . Nechť $\\nabla h(\\mathbb{x^*}) \\neq 0$ . Pak existuje $\\lambda$ tak, že $\\nabla f(\\mathbb{x^*}) + \\lambda \\cdot \\nabla h(\\mathbb{x^*}) = 0$ .

Tato věta nám říká, že v lokáním extrému $\\mathbb{x^*}$ jsou gradienty funkcí a rovnoběžné.

Příklad

Vypočtěte rozměry půllitru (válec bez víka) o objemu 0,5l tak, aby množství použitého skla bylo minimální.

Povrch a objem mohou být vypočítány jako

$V = \\pi \\cdot r^{2} \\cdot v = 0.5$
$S = \\pi \\cdot r^2 + 2 \\cdot \\pi \\cdot r \\cdot v$

Napíšeme Lagrangeovu funkci .

$F(\\mathbb{x}, \\lambda) = \\pi \\cdot r^2 + 2 \\cdot \\pi \\cdot r \\cdot v + \\lambda \\cdot ( \\pi \\cdot r^{2} \\cdot v - 0.5)$

Provedeme parciální derivace podle $r, v, \\lambda$ .

${{\\partial F} \\over {\\partial r}} = 2 \\pi r + 2 \\pi v + 2 \\pi r v \\lambda$
${{\\partial F} \\over {\\partial v}} = 2 \\pi r + \\pi r^{2} \\lambda$
${{\\partial F} \\over {\\partial \\lambda}} = \\pi \\cdot r^{2} \\cdot v - 0.5$

Porovnáme nyní první derivace s nulou a vypočítáme kritické body.

${{\\partial F} \\over {\\partial r}} = 2 \\pi r + 2 \\pi v + 2 \\pi r v \\lambda = 0$
${{\\partial F} \\over {\\partial v}} = 2 \\pi r + \\pi r^{2} \\lambda = 0$
${{\\partial F} \\over {\\partial \\lambda}} = \\pi \\cdot r^{2} \\cdot v - 0.5 = 0$

Po vyřešení soustavy rovnic vyjde $r_{1} = 0$ , což je z hlediska interpretace nesmysl a $r_{2} = v, v = \\sqrt[3]{{0.5} \\over \\pi}$ . Což jsou rozměry požadovaného půllitru, protože z interpretace vychází, že při nulovém poloměru a nekonečné výšce by byl objem nulový, stejně jako při nekonečném poloměru a nulové výšce.

Lagrangeovy multiplikátory

Příklad

Doporučujeme