Taylorův polynom

Nechť funkce f má v bodě a všechny derivace až po řád n. Pak definujeme Taylorův polynom stupně n se středem a jako

$T_{n}(x) = \\sum_{i=0}^n {{1 \\over {i!}} \\cdot f^{(i)}(a) \\cdot (x - a)^{i}}$

Pro funkci více proměnných lze Taylorův polynom vyjádřit pomocí totálních diferenciálů jako

$T_{n}(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}) =$
$f(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{m}) + {{df(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{m})} \\over {1!}} + {{d^{2}f(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{m})} \\over {2!}} + \\cdots + {{d^{n}f(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{m})} \\over {n!}}$

Taylorův polynom se používá k polynomiální aproximaci funkcí, protože platí, že všechny derivace Taylorova polynomu až do stupně n mají ve středu polynomu stejné funkční hodnoty jako odpovídající derivace funkce f. Tato aproximace je na okolí bodu a tím přesnější, čím vyšší stupeň polynomu použijeme. Zároveň platí, že se chyba se vzdáleností od středu zvyšuje.

V případě, že má Taylorův polynom střed v bodě 0, pak se označuje také jako Maclaurinův polynom.

Příklad

Aproximujte funkci $\\sin x$ v bodě a = 0 pomocí Taylorova polynomu řádu 3.

$T_{3}(0) = {1 \\over {0!}} \\cdot \\sin 0 \\cdot (x - 0)^0 + {1 \\over {1!}} \\cdot \\cos 0 \\cdot (x - 0)^1 - {1 \\over {2!}} \\cdot \\sin 0 \\cdot (x - 0)^2$
$- {1 \\over {3!}} \\cdot \\cos 0 \\cdot (x - 0)^3 = x - {1 \\over {3!}} \\cdot x^3$

Příklad 2

Aproximujte funkci dvou proměnných f(x, y) = 6xy^2 - 2x^3 - 3y^3 v bodě a = (1, -2) Taylorovým polynomem řádu 2.

Vypočítáme funkční hodnotu v .

$f(x, y) = 6xy^2 - 2x^3 - 3y^3 \\rightarrow f(a) = 46$

Vypočteme všechny potřebné parciální derivace a jejich funkční hodnoty v bodě .

${{\\partial f} \\over {\\partial x}} = 6y^2 - 6x^2 \\rightarrow {{\\partial f} \\over {\\partial x}}(a) = 18$
${{\\partial f} \\over {\\partial y}} = 12xy - 9y^2 \\rightarrow {{\\partial f} \\over {\\partial y}}(a) = -60$
${{\\partial f} \\over {\\partial^2 x}} = -12x \\rightarrow {{\\partial f} \\over {\\partial^2 x}}(a) = -12$
${{\\partial f} \\over {\\partial x \\partial y}} = 12y \\rightarrow {{\\partial f} \\over {\\partial x \\partial y}}(a) = -24$
${{\\partial f} \\over {\\partial^2 y}} = 12x - 18y \\rightarrow {{\\partial f} \\over {\\partial^2 y}}(a) = 48$

Po dosazení do vzorečku vychází aproximace Taylorovým polynomem řádu 2 v bodě .

$T_{2}(a) = 46 + {{18 \\cdot (x-1) - 60 \\cdot (y+2)} \\over {1!}}$
$+ {{-12 \\cdot (x-1)^2 - 2 \\cdot 24 \\cdot (x-1) \\cdot (y+2) + 48 \\cdot (y+2)^2} \\over {2!}}$

Příklad

Příklad 2

Doporučujeme